Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{12 \ln^{3} (x)}{x} d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int_{1}^{3} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

Этап 2

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (3)$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (3)$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$12 \int_{0}^{\ln (3)} u^{3} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$12 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (3)})$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$12 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (3)})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{u^{4}}{4}$ в $\ln (3)$ и в $0$ .

$12 ((\frac{\ln^{4} (3)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - 0)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} + 0)$

Этап 5.2.4

Добавим $\frac{\ln^{4} (3)}{4}$ и $0$ .

$12 \frac{\ln^{4} (3)}{4}$

Этап 5.2.5

Объединим $12$ и $\frac{\ln^{4} (3)}{4}$ .

$\frac{12 \ln^{4} (3)}{4}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12 \ln^{4} (3)$ .

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4}$

Этап 5.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4 (1)}$

Этап 5.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln^{4} (3)}{1}$

Этап 5.2.6.2.4

Разделим $3 \ln^{4} (3)$ на $1$ .

$3 \ln^{4} (3)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 \ln^{4} (3)$

Десятичная форма:

$4.37017738 \dots$