Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} x^{2} {(x^{3} - 10)}^{3} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} - 10$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} - 10$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 10]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} - 10$ .

$u_{lower} = 1^{3} - 10$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 - 10$

Этап 1.3.2

Вычтем $10$ из $1$ .

$u_{lower} = - 9$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} - 10$ .

$u_{upper} = 3^{3} - 10$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 27 - 10$

Этап 1.5.2

Вычтем $10$ из $27$ .

$u_{upper} = 17$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 9$

$u_{upper} = 17$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 9}^{17} u^{3} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 9}^{17} \frac{u^{3}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{- 9}^{17} u^{3} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{4} u^{4}]_{- 9}^{17}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{4} u^{4}$ в $17$ и в $- 9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{4} \cdot 17^{4}) - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $17$ в степень $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 83521 - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $83521$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Этап 5.2.3

Возведем $- 9$ в степень $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6561)$

Этап 5.2.4

Умножим $6561$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - 6561 (\frac{1}{4}))$

Этап 5.2.5

Объединим $- 6561$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} + \frac{- 6561}{4})$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{6561}{4})$

Этап 5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{83521 - 6561}{4}$

Этап 5.2.8

Вычтем $6561$ из $83521$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{76960}{4}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $76960$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $4$ из $76960$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 (1)}$

Этап 5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19240}{1}$

Этап 5.2.9.2.4

Разделим $19240$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 19240$

Этап 5.2.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $19240$ .

$\frac{19240}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{19240}{3}$

Десятичная форма:

$6413.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$6413 \frac{1}{3}$

Этап 7