Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (r)$ и $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Этап 3.2

Объединим $\ln (r)$ и $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Этап 3.4

Умножим $\frac{r^{4}}{4}$ на $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $r^{4}$ и $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $r$ из $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Этап 5

По правилу степени интеграл $r^{3}$ по $r$ имеет вид $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ и $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{r^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.2

Перенесем $81$ влево от $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.8

Вычтем $1$ из $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.9

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Этап 6.2.3.9.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Этап 6.2.3.10

Сократим общий множитель $20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Этап 6.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Этап 6.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Этап 6.2.3.10.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Этап 6.2.3.11

Умножим $- 1$ на $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Этап 7.3

Добавим $81 \ln (3)$ и $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Этап 7.5

Умножим $9$ на $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Этап 7.6

Умножим $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Объединим $9$ и $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Этап 7.6.2

Умножим $81$ на $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Десятичная форма:

$155.22208960 \dots$