Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} 8 - 2 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 8 d x + \int_{1}^{3} - 2 x d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 x d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 x]_{1}^{3} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 x]_{1}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $8 x$ в $3$ и в $1$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$8 \cdot 3 - 8 \cdot 1 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $8$ на $3$ .

$24 - 8 \cdot 1 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$24 - 8 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Вычтем $8$ из $24$ .

$16 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$16 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$16 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 - 2 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.7

Вычтем $1$ из $9$ .

$16 - 2 (\frac{8}{2})$

Этап 5.2.3.8

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$16 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 5.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$16 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 5.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - 2 (\frac{4}{1})$

Этап 5.2.3.8.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$16 - 2 \cdot 4$

Этап 5.2.3.9

Умножим $- 2$ на $4$ .

$16 - 8$

Этап 5.2.3.10

Вычтем $8$ из $16$ .

$8$

Этап 6