Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 1.3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{upper} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 2^{1}$

Этап 2.5.4

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} 2 \cos (u) d u$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{2} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u)]_{1}^{2})$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $2$ и в $1$ .

$2 (\sin (2) - \sin (1))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $\sin (2)$ .

$2 (0.90929742 - \sin (1))$

Этап 6.1.2

Найдем значение $\sin (1)$ .

$2 (0.90929742 - 1 \cdot 0.84147098)$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $0.84147098$ .

$2 (0.90929742 - 0.84147098)$

Этап 6.2

Вычтем $0.84147098$ из $0.90929742$ .

$2 \cdot 0.06782644$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $0.06782644$ .

$0.13565288$