Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{32}{x^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $32$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $32$ из-под знака интеграла.

$32 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$32 \int_{1}^{4} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 \int_{1}^{4} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$32 \int_{1}^{4} x^{- 3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$32 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{4})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$32 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{4})$

Этап 4.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{4})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$32 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$32 (- \frac{1}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $16$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 4.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{16})$

Этап 4.2.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $32$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{16}{16}$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{16}{2 \cdot 16})$

Этап 4.2.2.6.2

Умножим $2$ на $16$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{16}{32})$

Этап 4.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$32 \frac{- 1 + 16}{32}$

Этап 4.2.2.8

Добавим $- 1$ и $16$ .

$32 (\frac{15}{32})$

Этап 4.2.2.9

Объединим $32$ и $\frac{15}{32}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{32}$

Этап 4.2.2.10

Умножим $32$ на $15$ .

$\frac{480}{32}$

Этап 4.2.2.11

Сократим общий множитель $480$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Вынесем множитель $32$ из $480$ .

$\frac{32 \cdot 15}{32}$

Этап 4.2.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.2.1

Вынесем множитель $32$ из $32$ .

$\frac{32 \cdot 15}{32 (1)}$

Этап 4.2.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32 \cdot 15}{32 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{1}$

Этап 4.2.2.11.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$15$

Этап 5