Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} x (x - 2) d x$

Этап 1

Умножим $x (x - 2)$ .

$\int_{2}^{3} x \cdot x + x \cdot - 2 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{2}^{3} x^{1} x + x \cdot - 2 d x$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{2}^{3} x^{1} x^{1} + x \cdot - 2 d x$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{3} x^{1 + 1} + x \cdot - 2 d x$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + x \cdot - 2 d x$

Этап 2.5

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} - 2 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} - 2 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 2 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} - 2 \int_{2}^{3} x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $3$ и в $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$9 - 8 (\frac{1}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$9 + \frac{- 8}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 - \frac{8}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 \cdot 3 - 8}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{27 - 8}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11.2

Вычтем $8$ из $27$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2})$

Этап 7.2.3.14

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 7.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 7.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1})$

Этап 7.2.3.14.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2)$

Этап 7.2.3.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - 2)$

Этап 7.2.3.16

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 7.2.3.17

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Этап 7.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{19}{3} - 2 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.19.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{19}{3} - 2 \frac{9 - 4}{2}$

Этап 7.2.3.19.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{19}{3} - 2 (\frac{5}{2})$

Этап 7.2.3.20

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{19}{3} + \frac{- 2 \cdot 5}{2}$

Этап 7.2.3.21

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{19}{3} + \frac{- 10}{2}$

Этап 7.2.3.22

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.22.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{19}{3} + \frac{2 \cdot - 5}{2}$

Этап 7.2.3.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{19}{3} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Этап 7.2.3.22.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{19}{3} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.22.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{19}{3} + \frac{- 5}{1}$

Этап 7.2.3.22.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$\frac{19}{3} - 5$

Этап 7.2.3.23

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{19}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.24

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{19}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{19 - 5 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{19 - 15}{3}$

Этап 7.2.3.26.2

Вычтем $15$ из $19$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{3}$

Этап 9