Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 5$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 5$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 4 - 5$

Этап 1.3.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 5$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 9 - 5$

Этап 1.5.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $4$ и в $- 1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 (8 - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 5.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2}$

Этап 5.2.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$4 (\frac{15}{2})$

Этап 5.2.8

Объединим $4$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

Этап 5.2.9

Умножим $4$ на $15$ .

$\frac{60}{2}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $60$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

Этап 5.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{30}{1}$

Этап 5.2.10.2.4

Разделим $30$ на $1$ .

$30$

Этап 6