Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} 10 + 4 x - 3 x^{3} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{4} 10 d x + \int_{2}^{4} 4 x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$10 x]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} 4 x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$10 x]_{2}^{4} + 4 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 \int_{2}^{4} x^{3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $10 x$ в $4$ и в $2$ .

$(10 \cdot 4) - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $2$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $2$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $10$ на $4$ .

$40 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.2

Умножим $- 10$ на $2$ .

$40 - 20 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.3

Вычтем $20$ из $40$ .

$20 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$20 + 4 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.5

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$20 + 4 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.5.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$20 + 4 (8 - \frac{4}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.7

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$20 + 4 (8 - \frac{2}{1}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.7.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$20 + 4 (8 - 1 \cdot 2) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$20 + 4 (8 - 2) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.9

Вычтем $2$ из $8$ .

$20 + 4 \cdot 6 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.10

Умножим $4$ на $6$ .

$20 + 24 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.11

Добавим $20$ и $24$ .

$44 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.12

Возведем $4$ в степень $4$ .

$44 - 3 (\frac{256}{4} - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.13

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.13.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$44 - 3 (\frac{64}{1} - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.13.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$44 - 3 (64 - \frac{2^{4}}{4})$

Этап 8.2.4.14

Возведем $2$ в степень $4$ .

$44 - 3 (64 - \frac{16}{4})$

Этап 8.2.4.15

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.15.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4})$

Этап 8.2.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)})$

Этап 8.2.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1})$

Этап 8.2.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$44 - 3 (64 - \frac{4}{1})$

Этап 8.2.4.15.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$44 - 3 (64 - 1 \cdot 4)$

Этап 8.2.4.16

Умножим $- 1$ на $4$ .

$44 - 3 (64 - 4)$

Этап 8.2.4.17

Вычтем $4$ из $64$ .

$44 - 3 \cdot 60$

Этап 8.2.4.18

Умножим $- 3$ на $60$ .

$44 - 180$

Этап 8.2.4.19

Вычтем $180$ из $44$ .

$- 136$

Этап 9