Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} \frac{w^{4} - w}{w^{3}} d w$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{4} - w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{4}$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} - w}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $w$ из $- w$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} + w \cdot - 1}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $w$ из $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{2}^{4} \frac{w^{3} - 1}{w^{2}} d w$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $w^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(w^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{- 2} d w$

Этап 2

Умножим $(w^{3} - 1) w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w^{3} w^{- 2} - 1 w^{- 2} d w$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $w^{3}$ на $w^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{4} w^{3 - 2} - 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int_{2}^{4} w^{1} - 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.2

Упростим $w^{1}$ .

$\int_{2}^{4} w - 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.3

Перепишем $- 1 w^{- 2}$ в виде $- w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w - w^{- 2} d w$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{4} w d w + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Этап 5

По правилу степени интеграл $w$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} w^{- 2} d w$

Этап 7

По правилу степени интеграл $w^{- 2}$ по $w$ имеет вид $- w^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{2} w^{2}$ в $4$ и в $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Этап 8.2

Найдем значение $- w^{- 1}$ в $4$ и в $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$8 - 4 (\frac{1}{2}) - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.6

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 4}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + \frac{- 2}{1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$8 - 2 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.8

Вычтем $2$ из $8$ .

$6 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + 2^{- 1})$

Этап 8.3.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Этап 8.3.11

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.3.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Этап 8.3.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Этап 8.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 - \frac{- 1 + 2}{4}$

Этап 8.3.14

Добавим $- 1$ и $2$ .

$6 - \frac{1}{4}$

Этап 8.3.15

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 8.3.16

Объединим $6$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 8.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 4 - 1}{4}$

Этап 8.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.18.1

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{24 - 1}{4}$

Этап 8.3.18.2

Вычтем $1$ из $24$ .

$\frac{23}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{23}{4}$

Десятичная форма:

$5.75$

Форма смешанных чисел:

$5 \frac{3}{4}$

Этап 10