Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $2 t$ в $5$ и в $2$ .

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $5$ и в $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.3

Вычтем $4$ из $10$ .

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.8

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.9

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.11.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.12

Объединим $2$ и $\frac{21}{2}$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13

Умножим $2$ на $21$ .

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14

Сократим общий множитель $42$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.14.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.15

Добавим $6$ и $21$ .

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.16

Возведем $5$ в степень $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Этап 8.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

Этап 8.2.4.19

Вычтем $8$ из $125$ .

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

Этап 8.2.4.20

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.20.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

Этап 8.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

Этап 8.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

Этап 8.2.4.20.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$27 + 3 \cdot 39$

Этап 8.2.4.21

Умножим $3$ на $39$ .

$27 + 117$

Этап 8.2.4.22

Добавим $27$ и $117$ .

$144$

Этап 9