Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} (2 - x) (x - 5) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{5} 2 (x - 5) - x (x - 5) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x (x - 5) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x \cdot x - x \cdot - 5 d x$

Этап 1.4

Перенесем $x$ .

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.6

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x \cdot x) - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x^{1} x) - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{1 + 1} - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{2} - 1 \cdot - 5 x d x$

Этап 1.11

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{2} + 5 x d x$

Этап 1.12

Перенесем $- 10$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - x^{2} + 5 x - 10 d x$

Этап 1.13

Перенесем $2 x$ .

$\int_{2}^{5} - x^{2} + 5 x + 2 x - 10 d x$

Этап 1.14

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$\int_{2}^{5} - x^{2} + 7 x - 10 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} - x^{2} d x + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + - 10 x]_{2}^{5}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $2$ .

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + - 10 x]_{2}^{5}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 10 x]_{2}^{5}$

Этап 10.3

Найдем значение $- 10 x$ в $5$ и в $2$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{8}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{125 - 8}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.4

Вычтем $8$ из $125$ .

$- \frac{117}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.5

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$- \frac{3 \cdot 39}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{39}{1} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.5.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$- 1 \cdot 39 + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.6

Умножим $- 1$ на $39$ .

$- 39 + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 2) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.11

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.12

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 39 + 7 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 39 + 7 \frac{25 - 4}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.14.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$- 39 + 7 (\frac{21}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.15

Объединим $7$ и $\frac{21}{2}$ .

$- 39 + \frac{7 \cdot 21}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.16

Умножим $7$ на $21$ .

$- 39 + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.17

Чтобы записать $- 39$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 39 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.18

Объединим $- 39$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 39 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 39 \cdot 2 + 147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.20.1

Умножим $- 39$ на $2$ .

$\frac{- 78 + 147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.20.2

Добавим $- 78$ и $147$ .

$\frac{69}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.21

Умножим $- 10$ на $5$ .

$\frac{69}{2} - 50 + 10 \cdot 2$

Этап 10.4.22

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{69}{2} - 50 + 20$

Этап 10.4.23

Добавим $- 50$ и $20$ .

$\frac{69}{2} - 30$

Этап 10.4.24

Чтобы записать $- 30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} - 30 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.4.25

Объединим $- 30$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} + \frac{- 30 \cdot 2}{2}$

Этап 10.4.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{69 - 30 \cdot 2}{2}$

Этап 10.4.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.27.1

Умножим $- 30$ на $2$ .

$\frac{69 - 60}{2}$

Этап 10.4.27.2

Вычтем $60$ из $69$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{2}$

Этап 12