Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{2} 36^{\frac{x}{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{- 2}{2}$

Этап 1.3

Разделим $- 2$ на $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{2}$

Этап 1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot (1 \cdot 2) d u$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot 2 d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $36^{u}$ .

$\int_{- 1}^{1} 2 \cdot 36^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 1}^{1} 36^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $36^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36^{u}}{\ln (36)}]_{- 1}^{1})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ в $1$ и в $- 1$ .

$2 ((\frac{36^{1}}{\ln (36)}) - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем экспоненту.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Этап 5.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)})$

Этап 5.2.3

Перепишем $\frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)}$ в виде произведения.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - (\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{\ln (36)}))$

Этап 5.2.4

Умножим $\frac{1}{36}$ на $\frac{1}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Десятичная форма:

$20.07647948 \dots$

Этап 7