Математический анализ Примеры

$\int x^{3} e^{4 x^{4}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{4 {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u_{1} e^{4 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{2} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{u_{1}}{2}$ и $e^{4 {u_{1}}^{2}}$ .

$\int \frac{u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 8 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{8} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{2}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $4 {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ равна $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u_{1})$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8 u_{1}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{8} d u_{2}$

Этап 5

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{8} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{1}{16} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{16} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{16} e^{u_{2}} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{16} e^{4 {u_{1}}^{2}} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{16} e^{4 {(x^{2})}^{2}} + C$