Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Этап 4

Пусть $u = - 0.4 x$ . Тогда $d u = - 0.4 d x$ , следовательно $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - 0.4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 0.4$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.4 x$ по $x$ равна $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 0.4$ на $1$ .

$- 0.4$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 0.4 x$ .

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Этап 4.3

Умножим $- 0.4$ на $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 0.4 x$ .

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Этап 4.5

Умножим $- 0.4$ на $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Этап 5.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{0.4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.4}$ из-под знака интеграла.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{0.4}$ и $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $x$ в $3$ и в $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Этап 11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 1.2$ и в $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Этап 11.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Разделим $2$ на $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Этап 12.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Этап 12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Этап 12.1.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Этап 12.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Этап 12.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Этап 12.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Этап 12.2.5

Объединим $5$ и $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Десятичная форма:

$1.74067376 \dots$

Этап 14