Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 2

Поскольку $0.1$ — константа по отношению к $a$ , вынесем $0.1$ из-под знака интеграла.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 3

Пусть $u = - 0.1 a$ . Тогда $d u = - 0.1 d a$ , следовательно $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = - 0.1 a$ . Найдем $\frac{d u}{d a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Этап 3.1.2

Поскольку $- 0.1$ является константой относительно $a$ , производная $- 0.1 a$ по $a$ равна $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $- 0.1$ на $1$ .

$- 0.1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $a$ в $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Этап 3.3

Умножим $- 0.1$ на $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $a$ в $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Этап 3.5

Умножим $- 0.1$ на $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 4.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{0.1}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.1}$ из-под знака интеграла.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{0.1}$ и $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $- 0.1$ и $0.1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $- 0.1$ в виде $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 8.2.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $a$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{a}$ по $a$ имеет вид $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 0.3$ и в $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Этап 12.2

Найдем значение $\ln (| a |)$ в $3$ и в $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 12.3

Избавимся от скобок.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Этап 13

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 14.3

Умножим $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 14.3.2

Умножим $\frac{1}{e^{0.2}}$ на $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 14.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Этап 14.5

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 14.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Десятичная форма:

$0.88884274 \dots$

Этап 16