Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Этап 2

Умножим $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Этап 3

Умножим $u^{2}$ на $u^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Этап 7.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Этап 8

Интеграл $u^{- 1}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 u^{2}}$ в $3$ и в $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $3$ и в $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.5

Чтобы записать $- \frac{1}{18}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.6

Чтобы записать $\frac{1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $72$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.7.1

Умножим $\frac{1}{18}$ на $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.7.2

Умножим $18$ на $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.7.3

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.7.4

Умножим $8$ на $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.9

Добавим $- 4$ и $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.10

Объединим $2$ и $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.11

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.12

Сократим общий множитель $10$ и $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.1.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Этап 9.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Этап 9.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Десятичная форма:

$0.54435399 \dots$

Этап 11