Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{2} 12 - 3 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{2} 12 d x + \int_{- 2}^{2} - 3 x^{2} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 3 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$12 x]_{- 2}^{2} - 3 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 x]_{- 2}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 x]_{- 2}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $12 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$(12 \cdot 2) - 12 \cdot - 2 - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$12 \cdot 2 - 12 \cdot - 2 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $12$ на $2$ .

$24 - 12 \cdot - 2 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$24 + 24 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.3

Добавим $24$ и $24$ .

$48 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 5.2.3.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3})$

Этап 5.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$48 - 3 (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3})$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Этап 5.2.3.8

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 5.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$48 - 3 \frac{8 + 8}{3}$

Этап 5.2.3.10

Добавим $8$ и $8$ .

$48 - 3 (\frac{16}{3})$

Этап 5.2.3.11

Объединим $- 3$ и $\frac{16}{3}$ .

$48 + \frac{- 3 \cdot 16}{3}$

Этап 5.2.3.12

Умножим $- 3$ на $16$ .

$48 + \frac{- 48}{3}$

Этап 5.2.3.13

Сократим общий множитель $- 48$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $- 48$ .

$48 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Этап 5.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$48 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Этап 5.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$48 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$48 + \frac{- 16}{1}$

Этап 5.2.3.13.2.4

Разделим $- 16$ на $1$ .

$48 - 16$

Этап 5.2.3.14

Вычтем $16$ из $48$ .

$32$

Этап 6