Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} (5 - x^{2}) - (x + 3) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} 5 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Этап 6

Умножим $- (x + 3)$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 1 \cdot 3 d x$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 3 d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $5 x]_{- 2}^{1}$ и $- 3 x]_{- 2}^{1}$ .

$5 x - 3 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Этап 13.1.2

Вычтем $3 x$ из $5 x$ .

$2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Этап 13.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $2 x$ в $1$ и в $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Этап 13.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Этап 13.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.8

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 - \frac{1 + 8}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.10

Добавим $1$ и $8$ .

$6 - \frac{9}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.11

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$6 - \frac{3}{1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.11.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$6 - 1 \cdot 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 - 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.13

Вычтем $3$ из $6$ .

$3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.14

Единица в любой степени равна единице.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 13.2.4.15

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

Этап 13.2.4.16

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.16.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 13.2.4.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 13.2.4.16.2.2

Сократим общий множитель.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 13.2.4.16.2.3

Перепишем это выражение.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1})$

Этап 13.2.4.16.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2)$

Этап 13.2.4.17

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2)$

Этап 13.2.4.18

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 13.2.4.19

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Этап 13.2.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 13.2.4.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.21.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 - \frac{1 - 4}{2}$

Этап 13.2.4.21.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$3 - \frac{- 3}{2}$

Этап 13.2.4.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 - - \frac{3}{2}$

Этап 13.2.4.23

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 + 1 (\frac{3}{2})$

Этап 13.2.4.24

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$3 + \frac{3}{2}$

Этап 13.2.4.25

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 13.2.4.26

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 13.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 2 + 3}{2}$

Этап 13.2.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.28.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Этап 13.2.4.28.2

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{2}$

Этап 15