Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} + 4 y^{- 3} d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Этап 2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $y^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 7.1.2

Перенесем $y^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{y^{4}}{4}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$7 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.5

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.6

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$7 \frac{1 - 16}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.8.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$7 (\frac{- 15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 (- \frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 7 (\frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.11

Объединим $- 7$ и $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 7 \cdot 15}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.12

Умножим $- 7$ на $15$ .

$\frac{- 105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.15

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Этап 7.2.3.16

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

Этап 7.2.3.17

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

Этап 7.2.3.18

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

Этап 7.2.3.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.19.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

Этап 7.2.3.19.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

Этап 7.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{105}{4} + 4 \frac{- 4 + 1}{8}$

Этап 7.2.3.21

Добавим $- 4$ и $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (\frac{- 3}{8})$

Этап 7.2.3.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{3}{8})$

Этап 7.2.3.23

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{105}{4} - 4 (\frac{3}{8})$

Этап 7.2.3.24

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Этап 7.2.3.25

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 12}{8}$

Этап 7.2.3.26

Сократим общий множитель $- 12$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Этап 7.2.3.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.26.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.26.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.2.3.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2}$

Этап 7.2.3.28

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3.29

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.29.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.29.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 7.2.3.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 105 - 3 \cdot 2}{4}$

Этап 7.2.3.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.31.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 105 - 6}{4}$

Этап 7.2.3.31.2

Вычтем $6$ из $- 105$ .

$\frac{- 111}{4}$

Этап 7.2.3.32

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{111}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{111}{4}$

Десятичная форма:

$- 27.75$

Форма смешанных чисел:

$- 27 \frac{3}{4}$

Этап 9