Математический анализ Примеры

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Этап 2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Этап 4.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = 6 x$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$