Математический анализ Примеры

$\int 12 \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ в виде $12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $12$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $36$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 5.2.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$9 {\sin (x)}^{\frac{4}{3}} + C$