Математический анализ Примеры

$\int 12 x^{2} (x - 1) d x$

Этап 1

Умножим $12 x^{2} (x - 1)$ .

$\int 12 x^{2} x + 12 x^{2} \cdot - 1 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 12 (x^{1} x^{2}) + 12 x^{2} \cdot - 1 d x$

Этап 2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 12 x^{1 + 2} + 12 x^{2} \cdot - 1 d x$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 12 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 1 d x$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\int 12 x^{3} - 12 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 12 x^{3} d x + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{3} d x + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$12 (\frac{1}{4}) x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $12$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{12}{4} x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 x^{4} - 12 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.3

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{3} + C$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$3 x^{4} + \frac{3 \cdot - 4}{3} x^{3} + C$

Этап 8.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 x^{4} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} x^{3} + C$

Этап 8.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{4} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Этап 8.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{3} + C$

Этап 8.2.4.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$3 x^{4} - 4 x^{3} + C$