Математический анализ Примеры

$\int 15 x e^{- 3 x} d x$

Этап 1

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$15 \int x e^{- 3 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 3 x}$ .

$15 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 5.2

Умножим $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ на $1$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

Этап 7

Пусть $u = - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

Этап 8.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $3$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ в виде $15 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$15 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 13.2.2

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{x}{3}$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 13.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{9}$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$15 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) + C$