Математический анализ Примеры

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Этап 1

Поскольку $15$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Этап 2

Пусть $u_{1} = y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 3.3.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Тогда $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ по $u_{1}$ равна $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.7.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.8

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.9

Объединим $4$ и $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.10

Умножим $3$ на $4$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.11

Вынесем множитель $2$ из $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.3.12.4

Разделим $6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $3$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.5

Перепишем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ в виде радикала.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 5

Объединим ${u_{2}}^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $15$ .

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 7.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 8

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{3}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ в виде $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ .

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

Этап 9.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2}$ .

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$