Математический анализ Примеры

$\int 12 x \sqrt[3]{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 12 x \cdot x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{3}} x) d x$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) d x$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 12 x^{\frac{1}{3} + 1} d x$

Этап 1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 12 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 12 x^{\frac{1 + 3}{3}} d x$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $3$ .

$\int 12 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $12 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ в виде $12 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$ .

$12 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $12$ и $\frac{3}{7}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 4.2.2

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{36}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$