Математический анализ Примеры

$\int 16 \ln (\sqrt[3]{x}) d x$

Этап 1

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int \ln (\sqrt[3]{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (\sqrt[3]{x})$ и $d v = 1$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int x \frac{1}{3 x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3 x}$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int \frac{x}{3 x} d x)$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int \frac{x}{3 x} d x)$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int \frac{1}{3} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - (\frac{1}{3} x + C))$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - (\frac{1}{3} x + C))$ в виде $16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \frac{1}{3} x) + C$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \frac{1}{3} x) + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \frac{x}{3}) + C$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $\ln (\sqrt[3]{x}) x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Этап 5.2.3

Объединим $\ln (\sqrt[3]{x}) x$ и $\frac{3}{3}$ .

$16 (\frac{\ln (\sqrt[3]{x}) x \cdot 3}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 \frac{\ln (\sqrt[3]{x}) x \cdot 3 - x}{3} + C$

Этап 5.2.5

Перенесем $3$ влево от $\ln (\sqrt[3]{x}) x$ .

$16 \frac{3 \cdot (\ln (\sqrt[3]{x}) x) - x}{3} + C$

Этап 5.2.6

Объединим $16$ и $\frac{3 \ln (\sqrt[3]{x}) x - x}{3}$ .

$\frac{16 (3 \ln (\sqrt[3]{x}) x - x)}{3} + C$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{16}{3} (3 \ln (\sqrt[3]{x}) x - x) + C$