Математический анализ Примеры

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $6$ как $4$ плюс $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\sec (x)}^{4 + 2}$ в виде $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 2.4

Перепишем ${\sec (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 4

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Этап 5

Развернем $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(1 + u^{2})}^{2}$ в виде $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.8

Перенесем $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.9

Изменим порядок $u^{4}$ и $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.10

Изменим порядок $u^{2}$ и $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.11

Изменим порядок $u^{4}$ и $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.12

Умножим $1$ на $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.13

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.14

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.16

Добавим $4$ и $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.17

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.19

Добавим $4$ и $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Этап 5.21

Добавим $4$ и $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Этап 5.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Этап 5.23

Добавим $6$ и $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Этап 5.24

Добавим $u^{6}$ и $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Этап 5.25

Изменим порядок $2 u^{6}$ и $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Этап 5.26

Перенесем $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{8}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 11.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$