Математический анализ Примеры

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Тогда $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ .

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ .

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ в виде $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ .

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $16$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

Этап 4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Этап 4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$