Математический анализ Примеры

$\int_{16}^{20} 3.96 + 0.07 x + 0.015 x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{16}^{20} 3.96 d x + \int_{16}^{20} 0.07 x d x + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3.96 x]_{16}^{20} + \int_{16}^{20} 0.07 x d x + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $0.07$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $0.07$ из-под знака интеграла.

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 \int_{16}^{20} x d x + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{1}{2} x^{2}]_{16}^{20}) + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $0.015$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $0.015$ из-под знака интеграла.

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 \int_{16}^{20} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 (\frac{1}{3} x^{3}]_{16}^{20})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 (\frac{x^{3}}{3}]_{16}^{20})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $3.96 x$ в $20$ и в $16$ .

$(3.96 \cdot 20) - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 (\frac{x^{3}}{3}]_{16}^{20})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $20$ и в $16$ .

$3.96 \cdot 20 - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 (\frac{x^{3}}{3}]_{16}^{20})$

Этап 8.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $20$ и в $16$ .

$3.96 \cdot 20 - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $3.96$ на $20$ .

$79.2 - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.2

Умножим $- 3.96$ на $16$ .

$79.2 - 63.36 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.3

Вычтем $63.36$ из $79.2$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.4

Возведем $20$ в степень $2$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{400}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5

Сократим общий множитель $400$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $400$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$15.84 + 0.07 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$15.84 + 0.07 (\frac{200}{1} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.5.2.4

Разделим $200$ на $1$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.6

Возведем $16$ в степень $2$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{256}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7

Сократим общий множитель $256$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $256$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{2 \cdot 128}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{2 \cdot 128}{2 (1)}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{128}{1}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.7.2.4

Разделим $128$ на $1$ .

$15.84 + 0.07 (200 - 1 \cdot 128) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.8

Умножим $- 1$ на $128$ .

$15.84 + 0.07 (200 - 128) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.9

Вычтем $128$ из $200$ .

$15.84 + 0.07 \cdot 72 + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.10

Умножим $0.07$ на $72$ .

$15.84 + 5.04 + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.11

Добавим $15.84$ и $5.04$ .

$20.88 + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.12

Возведем $20$ в степень $3$ .

$20.88 + 0.015 (\frac{8000}{3} - \frac{16^{3}}{3})$

Этап 8.2.4.13

Возведем $16$ в степень $3$ .

$20.88 + 0.015 (\frac{8000}{3} - \frac{4096}{3})$

Этап 8.2.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$20.88 + 0.015 \frac{8000 - 4096}{3}$

Этап 8.2.4.15

Вычтем $4096$ из $8000$ .

$20.88 + 0.015 (\frac{3904}{3})$

Этап 8.2.4.16

Объединим $0.015$ и $\frac{3904}{3}$ .

$20.88 + \frac{0.015 \cdot 3904}{3}$

Этап 8.2.4.17

Умножим $0.015$ на $3904$ .

$20.88 + \frac{58.56}{3}$

Этап 8.2.4.18

Чтобы записать $20.88$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$20.88 \cdot \frac{3}{3} + \frac{58.56}{3}$

Этап 8.2.4.19

Объединим $20.88$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20.88 \cdot 3}{3} + \frac{58.56}{3}$

Этап 8.2.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20.88 \cdot 3 + 58.56}{3}$

Этап 8.2.4.21

Умножим $20.88$ на $3$ .

$\frac{62.64 + 58.56}{3}$

Этап 8.2.4.22

Добавим $62.64$ и $58.56$ .

$\frac{121.2}{3}$

Этап 9

Разделим $121.2$ на $3$ .

$40.4$

Этап 10