Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 6

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 6.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Этап 6.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 9.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 9.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 9.3.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Этап 10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Этап 11.3

Разделим $e$ на $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Этап 12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{2}$

Этап 12.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$