Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{4}{x} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Этап 3.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Этап 3.3.3

Разделим $e$ на $1$ .

$4 \ln (e)$

Этап 3.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 3.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 4