Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.4

Умножим $\frac{x^{3}}{3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ и $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ в $e$ и в $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $e$ и в $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 6.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Этап 6.2.3.5

Объединим.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.1

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.7.2

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.9

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.10

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.10.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Этап 6.2.3.11

Умножим $3$ на $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Этап 6.2.3.12

Чтобы записать $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 6.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.13.1

Умножим $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 6.2.3.13.2

Умножим $3$ на $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 6.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 6.2.3.15

Перенесем $3$ влево от $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 7.1.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 7.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 7.1.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 7.1.1.5

Вычтем $e^{3}$ из $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Этап 7.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Этап 7.1.3

Разделим $0$ на $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Этап 7.2

Добавим $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ и $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Этап 7.3.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Этап 7.4

Объединим $2$ и $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Десятичная форма:

$27.44738256 \dots$