Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Этап 1

Перепишем $\ln (x^{2})$ в виде $2 \ln (x)$ .

$\int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\ln (x) x$ в $e$ и в $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Этап 6.2

Найдем значение $x$ в $e$ и в $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 7.1.2

Умножим $e$ на $1$ .

$2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Этап 7.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$2 (e - 0 - (e - 1))$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (e + 0 - (e - 1))$

Этап 7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e + 0 - e - - 1)$

Этап 7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (e + 0 - e + 1)$

Этап 7.2

Добавим $e$ и $0$ .

$2 (e - e + 1)$

Этап 7.3

Вычтем $e$ из $e$ .

$2 (0 + 1)$

Этап 7.4

Добавим $0$ и $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2$