Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{8 \sqrt{3}} \frac{11}{\sqrt{256 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$11 \int_{1}^{8 \sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{256 - x^{2}}} d x$

Этап 2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$11 \int_{1}^{8 \sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{16^{2} - x^{2}}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{16^{2} - x^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\arcsin (\frac{x}{16})$ .

$11 (\arcsin (\frac{x}{16})]_{1}^{8 \sqrt{3}})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{x}{16})$ в $8 \sqrt{3}$ и в $1$ .

$11 ((\arcsin (\frac{8 \sqrt{3}}{16})) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $8$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 \sqrt{3}$ .

$11 (\arcsin (\frac{8 (\sqrt{3})}{16}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$11 (\arcsin (\frac{8 \sqrt{3}}{8 \cdot 2}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$11 (\arcsin (\frac{8 \sqrt{3}}{8 \cdot 2}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$11 (\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$11 (\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{1}{16}))$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{16})$ .

$11 (\frac{π}{3} - 1 \cdot 0.06254076)$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $0.06254076$ .

$11 (\frac{π}{3} - 0.06254076)$

Этап 5.2

Вычтем $0.06254076$ из $\frac{π}{3}$ .

$11 \cdot 0.98465678$

Этап 5.3

Умножим $11$ на $0.98465678$ .

$10.83122468$

Этап 6