Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{9} (x - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Развернем $(x - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{9} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{9} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{9} x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Перепишем $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Этап 10.2

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.6

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.7.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.10

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.11

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.13.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.13.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.14

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.15

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.16.1

Сократим общий множитель.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.16.2

Перепишем это выражение.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.17

Найдем экспоненту.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.18

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.3.19

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1)$

Этап 10.3.20

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{52}{3} - (6 - 2)$

Этап 10.3.21

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{52}{3} - 1 \cdot 4$

Этап 10.3.22

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{52}{3} - 4$

Этап 10.3.23

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 10.3.24

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 10.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 10.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.26.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{52 - 12}{3}$

Этап 10.3.26.2

Вычтем $12$ из $52$ .

$\frac{40}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{40}{3}$

Десятичная форма:

$13.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$13 \frac{1}{3}$

Этап 12