Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 9$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 9$ .

$u_{lower} = 1 - 9$

Этап 1.3

Вычтем $9$ из $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Этап 1.5

Вычтем $9$ из $9$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ в $0$ и в $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.6

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.9

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Этап 4.2.10

Умножим $4$ на $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Этап 4.2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Этап 4.2.12

Умножим $- 4$ на $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Этап 4.2.13

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Этап 4.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Этап 4.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Этап 4.2.13.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6$

Этап 4.2.14

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6$

Этап 5