Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $9$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Этап 6.2

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.6

Вычтем $1$ из $81$ .

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.7

Сократим общий множитель $80$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.7.2.4

Разделим $40$ на $1$ .

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.8

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1

Сократим общий множитель.

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.10.2

Перепишем это выражение.

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.11

Найдем экспоненту.

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.12

Умножим $2$ на $3$ .

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

Этап 6.3.14

Умножим $- 2$ на $1$ .

$40 - (6 - 2)$

Этап 6.3.15

Вычтем $2$ из $6$ .

$40 - 1 \cdot 4$

Этап 6.3.16

Умножим $- 1$ на $4$ .

$40 - 4$

Этап 6.3.17

Вычтем $4$ из $40$ .

$36$

Этап 7