Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{9} 4 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{9} \sqrt{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{9})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $9$ и в $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $2$ на $27$ .

$4 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Этап 4.2.2.8

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (18 - \frac{2}{3})$

Этап 4.2.2.9

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.2.2.10

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Этап 4.2.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1

Умножим $18$ на $3$ .

$4 \frac{54 - 2}{3}$

Этап 4.2.2.12.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$4 (\frac{52}{3})$

Этап 4.2.2.13

Объединим $4$ и $\frac{52}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 52}{3}$

Этап 4.2.2.14

Умножим $4$ на $52$ .

$\frac{208}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{208}{3}$

Десятичная форма:

$69.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$69 \frac{1}{3}$

Этап 6