Математический анализ Примеры

$\int_{- 1.6}^{0.7} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - - 1.6$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1.6$ .

$u_{lower} = 1 + 1.6$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1.6$ .

$u_{lower} = 2.6$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.7$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $0.7$ .

$u_{upper} = 1 - 0.7$

Этап 1.5.2

Вычтем $0.7$ из $1$ .

$u_{upper} = 0.3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2.6$

$u_{upper} = 0.3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2.6}^{0.3} - u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2.6}^{0.3} u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{2.6}^{0.3})$

Этап 4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{2.6}^{0.3})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ в $0.3$ и в $2.6$ .

$- ((\frac{3 \cdot {0.3}^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $0.3$ в степень $\frac{4}{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0.20082988}{4} - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $0.20082988$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 5.2.3

Возведем $2.6$ в степень $\frac{4}{3}$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{3 \cdot 3.57517905}{4})$

Этап 5.2.4

Умножим $3$ на $3.57517905$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{10.72553716}{4})$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{0.60248965 - 10.72553716}{4}$

Этап 5.2.6

Вычтем $10.72553716$ из $0.60248965$ .

$- \frac{- 10.1230475}{4}$

Этап 5.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{10.1230475}{4}$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{10.1230475}{4})$

Этап 5.2.9

Умножим $\frac{10.1230475}{4}$ на $1$ .

$\frac{10.1230475}{4}$

Этап 6

Разделим $10.1230475$ на $4$ .

$2.53076187$

Этап 7