Математический анализ Примеры

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} + 0.5 t d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Этап 2

Поскольку $- 0.009$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 0.009$ из-под знака интеграла.

$- 0.009 \int_{10}^{20} t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- 0.009 (\frac{1}{3} t^{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Этап 5

Поскольку $0.5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $0.5$ из-под знака интеграла.

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 \int_{10}^{20} t d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{10}^{20})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $20$ и в $10$ .

$- 0.009 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $20$ и в $10$ .

$- 0.009 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $20$ в степень $3$ .

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{1000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 0.009 \frac{8000 - 1000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Вычтем $1000$ из $8000$ .

$- 0.009 (\frac{7000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $- 0.009$ и $\frac{7000}{3}$ .

$\frac{- 0.009 \cdot 7000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Умножим $- 0.009$ на $7000$ .

$\frac{- 63}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Сократим общий множитель $- 63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 63$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3 (1)} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 21}{1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2.4

Разделим $- 21$ на $1$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Возведем $20$ в степень $2$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{400}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Сократим общий множитель $400$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $400$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 21 + 0.5 (\frac{200}{1} - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9.2.4

Разделим $200$ на $1$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{10^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Возведем $10$ в степень $2$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{100}{2})$

Этап 7.2.3.11

Сократим общий множитель $100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2})$

Этап 7.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)})$

Этап 7.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{50}{1})$

Этап 7.2.3.11.2.4

Разделим $50$ на $1$ .

$- 21 + 0.5 (200 - 1 \cdot 50)$

Этап 7.2.3.12

Умножим $- 1$ на $50$ .

$- 21 + 0.5 (200 - 50)$

Этап 7.2.3.13

Вычтем $50$ из $200$ .

$- 21 + 0.5 \cdot 150$

Этап 7.2.3.14

Умножим $0.5$ на $150$ .

$- 21 + 75$

Этап 7.2.3.15

Добавим $- 21$ и $75$ .

$54$

Этап 8