Математический анализ Примеры

$\int 10 z e^{- z^{2}} d z$

Этап 1

Поскольку $10$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int z e^{- z^{2}} d z$

Этап 2

Пусть $u = - z^{2}$ . Тогда $d u = - 2 z d z$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = z d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - z^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [- z^{2}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z^{2}$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 z)$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 z$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$10 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$10 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 10 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int e^{u} d u$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$- 5 \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 5 (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

$- 5 e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $- z^{2}$ .

$- 5 e^{- z^{2}} + C$