Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{6} t^{2} - 5 t + 6 d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{6} t^{2} d t + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Этап 3

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 \int_{1}^{6} t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + 6 t]_{1}^{6}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6}$ и $6 t]_{1}^{6}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + 6 t]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} t^{3} + 6 t$ в $6$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $6$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $216$ .

$\frac{216}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{72}{1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$72 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $6$ на $6$ .

$72 + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Добавим $72$ и $36$ .

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Умножим $6$ на $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Объединим $6$ и $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$108 - \frac{1 + 6 \cdot 3}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Умножим $6$ на $3$ .

$108 - \frac{1 + 18}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12.2

Добавим $1$ и $18$ .

$108 - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.13

Чтобы записать $108$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$108 \cdot \frac{3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.14

Объединим $108$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{108 \cdot 3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{108 \cdot 3 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.1

Умножим $108$ на $3$ .

$\frac{324 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16.2

Вычтем $19$ из $324$ .

$\frac{305}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.17

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{36}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.19

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.20

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.21

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{305}{3} - 5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 7.2.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.23.1

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 \frac{36 - 1}{2}$

Этап 7.2.3.23.2

Вычтем $1$ из $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{35}{2})$

Этап 7.2.3.24

Объединим $- 5$ и $\frac{35}{2}$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 5 \cdot 35}{2}$

Этап 7.2.3.25

Умножим $- 5$ на $35$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 175}{2}$

Этап 7.2.3.26

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{305}{3} - \frac{175}{2}$

Этап 7.2.3.27

Чтобы записать $\frac{305}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2}$

Этап 7.2.3.28

Чтобы записать $- \frac{175}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.29

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.29.1

Умножим $\frac{305}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.29.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.29.3

Умножим $\frac{175}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.29.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{6}$

Этап 7.2.3.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{305 \cdot 2 - 175 \cdot 3}{6}$

Этап 7.2.3.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.31.1

Умножим $305$ на $2$ .

$\frac{610 - 175 \cdot 3}{6}$

Этап 7.2.3.31.2

Умножим $- 175$ на $3$ .

$\frac{610 - 525}{6}$

Этап 7.2.3.31.3

Вычтем $525$ из $610$ .

$\frac{85}{6}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{85}{6}$

Десятичная форма:

$14.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$14 \frac{1}{6}$

Этап 9