Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Этап 2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$u_{upper} = - 6$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Этап 7.2

Умножим $\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ на $1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $6$ и в $1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Этап 9.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 6$ и в $- 1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

Этап 9.3

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Этап 10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Этап 11.3

Разделим $6$ на $1$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Этап 11.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$15.76043453 \dots$

Этап 13