Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{64} \frac{3 + \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.4

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Этап 5.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Этап 5.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Этап 5.5.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}} d x$

Этап 5.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}} d x$

Этап 5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 3}{6}} d x$

Этап 5.7

Вычтем $3$ из $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{6}}$ по $x$ имеет вид $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $64$ и в $1$ .

$3 ((2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Этап 11.2

Найдем значение $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ в $64$ и в $1$ .

$3 (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.4

Найдем экспоненту.

$3 (2 \cdot 8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.5

Умножим $2$ на $8$ .

$3 (16 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$3 (16 - 2 \cdot 1) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 (16 - 2) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.8

Вычтем $2$ из $16$ .

$3 \cdot 14 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.9

Умножим $3$ на $14$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.10

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot {(2^{6})}^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.12

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Сократим общий множитель.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.12.2

Перепишем это выражение.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.13

Возведем $2$ в степень $5$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 32 - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.14

Объединим $\frac{6}{5}$ и $32$ .

$42 + \frac{6 \cdot 32}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.15

Умножим $6$ на $32$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Этап 11.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1$

Этап 11.3.17

Умножим $- 1$ на $1$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5}$

Этап 11.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$42 + \frac{192 - 6}{5}$

Этап 11.3.19

Вычтем $6$ из $192$ .

$42 + \frac{186}{5}$

Этап 11.3.20

Чтобы записать $42$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$42 \cdot \frac{5}{5} + \frac{186}{5}$

Этап 11.3.21

Объединим $42$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 5}{5} + \frac{186}{5}$

Этап 11.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{42 \cdot 5 + 186}{5}$

Этап 11.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.23.1

Умножим $42$ на $5$ .

$\frac{210 + 186}{5}$

Этап 11.3.23.2

Добавим $210$ и $186$ .

$\frac{396}{5}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{396}{5}$

Десятичная форма:

$79.2$

Форма смешанных чисел:

$79 \frac{1}{5}$

Этап 13