Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{7} t^{3} - 10 t^{2} + 27 t - 18 d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{7} t^{3} d t + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 3

Поскольку $- 10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 10$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 \int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 6

Поскольку $27$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 18 t]_{1}^{7}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7}$ и $- 18 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} - 18 t]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} t^{4} - 18 t$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $7$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2401 - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2401$ .

$\frac{2401}{4} - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3

Умножим $- 18$ на $7$ .

$\frac{2401}{4} - 126 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.4

Чтобы записать $- 126$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} - 126 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.5

Объединим $- 126$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} + \frac{- 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2401 - 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.7.1

Умножим $- 126$ на $4$ .

$\frac{2401 - 504}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.7.2

Вычтем $504$ из $2401$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.9

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.10

Умножим $- 18$ на $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.11

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.12

Объединим $- 18$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 18 \cdot 4}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.14.1

Умножим $- 18$ на $4$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 72}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.14.2

Вычтем $72$ из $1$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1897}{4} - - \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.16

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1897}{4} + 1 (\frac{71}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.17

Умножим $\frac{71}{4}$ на $1$ .

$\frac{1897}{4} + \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1897 + 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.19

Добавим $1897$ и $71$ .

$\frac{1968}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20

Сократим общий множитель $1968$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.20.1

Вынесем множитель $4$ из $1968$ .

$\frac{4 \cdot 492}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 492}{4 (1)} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 492}{4 \cdot 1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{492}{1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.20.2.4

Разделим $492$ на $1$ .

$492 - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.21

Возведем $7$ в степень $3$ .

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.22

Единица в любой степени равна единице.

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$492 - 10 \frac{343 - 1}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.24

Вычтем $1$ из $343$ .

$492 - 10 (\frac{342}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25

Сократим общий множитель $342$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.25.1

Вынесем множитель $3$ из $342$ .

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.25.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 (1)} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$492 - 10 (\frac{114}{1}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.25.2.4

Разделим $114$ на $1$ .

$492 - 10 \cdot 114 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.26

Умножим $- 10$ на $114$ .

$492 - 1140 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.27

Вычтем $1140$ из $492$ .

$- 648 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.28

Возведем $7$ в степень $2$ .

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.29

Единица в любой степени равна единице.

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 10.2.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 648 + 27 \frac{49 - 1}{2}$

Этап 10.2.4.31

Вычтем $1$ из $49$ .

$- 648 + 27 (\frac{48}{2})$

Этап 10.2.4.32

Сократим общий множитель $48$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.32.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Этап 10.2.4.32.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.32.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Этап 10.2.4.32.2.2

Сократим общий множитель.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.32.2.3

Перепишем это выражение.

$- 648 + 27 (\frac{24}{1})$

Этап 10.2.4.32.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$- 648 + 27 \cdot 24$

Этап 10.2.4.33

Умножим $27$ на $24$ .

$- 648 + 648$

Этап 10.2.4.34

Добавим $- 648$ и $648$ .

$0$

Этап 11