Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{8} - \frac{1}{8} x + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{8} - \frac{1}{8} x d x + \int_{1}^{8} d x$

Этап 2

Поскольку $- \frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{8} x d x + \int_{1}^{8} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{8} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{8} + x]_{1}^{8}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $8$ и в $1$ .

$- \frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 8^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + x]_{1}^{8}$

Этап 5.2

Найдем значение $x$ в $8$ и в $1$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 8^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $64$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{64}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} (\frac{32}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.3.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$- \frac{1}{8} (32 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{8} (32 - \frac{1}{2} \cdot 1) + 8 - 1$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{8} (32 - \frac{1}{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.6

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.7

Объединим $32$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 8 - 1$

Этап 5.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{2} + 8 - 1$

Этап 5.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $32$ на $2$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{64 - 1}{2} + 8 - 1$

Этап 5.3.9.2

Вычтем $1$ из $64$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{63}{2} + 8 - 1$

Этап 5.3.10

Умножим $\frac{63}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{63}{2 \cdot 8} + 8 - 1$

Этап 5.3.11

Умножим $2$ на $8$ .

$- \frac{63}{16} + 8 - 1$

Этап 5.3.12

Вычтем $1$ из $8$ .

$- \frac{63}{16} + 7$

Этап 5.3.13

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{63}{16} + 7 \cdot \frac{16}{16}$

Этап 5.3.14

Объединим $7$ и $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{63}{16} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

Этап 5.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 63 + 7 \cdot 16}{16}$

Этап 5.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.1

Умножим $7$ на $16$ .

$\frac{- 63 + 112}{16}$

Этап 5.3.16.2

Добавим $- 63$ и $112$ .

$\frac{49}{16}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{49}{16}$

Десятичная форма:

$3.0625$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{1}{16}$

Этап 7