Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{7} t^{2} - 2 t - 24 d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 24 t]_{1}^{7}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}$ и $- 24 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} - 24 t]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} t^{3} - 24 t$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{t^{2}}{2}$ в $7$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 343 - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $343$ .

$\frac{343}{3} - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 24$ на $7$ .

$\frac{343}{3} - 168 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Чтобы записать $- 168$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} - 168 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $- 168$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} + \frac{- 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{343 - 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Умножим $- 168$ на $3$ .

$\frac{343 - 504}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7.2

Вычтем $504$ из $343$ .

$\frac{- 161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Умножим $- 24$ на $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Чтобы записать $- 24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.13

Объединим $- 24$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 24 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.15.1

Умножим $- 24$ на $3$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 72}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15.2

Вычтем $72$ из $1$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{- 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{161}{3} - - \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{161}{3} + 1 (\frac{71}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.18

Умножим $\frac{71}{3}$ на $1$ .

$- \frac{161}{3} + \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 161 + 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.20

Добавим $- 161$ и $71$ .

$\frac{- 90}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.21

Сократим общий множитель $- 90$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.21.1

Вынесем множитель $3$ из $- 90$ .

$\frac{3 \cdot - 30}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 30}{3 (1)} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 30}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 30}{1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.21.2.4

Разделим $- 30$ на $1$ .

$- 30 - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.22

Возведем $7$ в степень $2$ .

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.23

Единица в любой степени равна единице.

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 30 - 2 \frac{49 - 1}{2}$

Этап 7.2.3.25

Вычтем $1$ из $49$ .

$- 30 - 2 (\frac{48}{2})$

Этап 7.2.3.26

Сократим общий множитель $48$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Этап 7.2.3.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Этап 7.2.3.26.2.2

Сократим общий множитель.

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.26.2.3

Перепишем это выражение.

$- 30 - 2 (\frac{24}{1})$

Этап 7.2.3.26.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$- 30 - 2 \cdot 24$

Этап 7.2.3.27

Умножим $- 2$ на $24$ .

$- 30 - 48$

Этап 7.2.3.28

Вычтем $48$ из $- 30$ .

$- 78$

Этап 8