Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\ln (x) x$ в $5$ и в $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

Этап 4.2

Найдем значение $x$ в $5$ и в $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $5$ влево от $\ln (5)$ .

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

Этап 4.3.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

Этап 4.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$5 \ln (5) - 0 - 4$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 \ln (5) + 0 - 4$

Этап 5.2

Добавим $5 \ln (5)$ и $0$ .

$5 \ln (5) - 4$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$5 \ln (5) - 4$

Десятичная форма:

$4.04718956 \dots$