Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{5} \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (- x^{- 1}]_{1}^{5})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $5$ и в $1$ .

$2 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- \frac{1}{5} + 1)$

Этап 4.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- 1 + 5}{5}$

Этап 4.2.5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$2 (\frac{4}{5})$

Этап 4.2.6

Объединим $2$ и $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Этап 4.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{5}$

Десятичная форма:

$1.6$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{3}{5}$

Этап 6